ный момент времени некоторой функции Оо = / (х, </. г, 0).

Граничные условия могут быть заданы различными способами.

1) Граничное условие 1-го рода состоит в задании распределения температуры в каждой точке поверхности S

д5 = Ф(УИ, i),

(8.52)

где ф (М, /) - известная функция точки поверхности S и времени t.

2) Граничное условие второго рода состоит в задании плотности теплового потока как функции времени

Р(Л1, /)= -

дп

откуда

дп *s

=(М, i),

(8.53)

где \} (М, О - известная функция, выражающаяся через заданный тепловой поток по формуле

Р {М, t)

3) Граничное условие третьего рода характеризует закон конвективного теплообмена между поверхностью тела и окружающей средой. По закону Ньютона количество тепла, передаваемое с единицы поверхности тела, равно Р = а - &с), где а - коэффициент теплообмена конвекции; дц, - температура поверхности; до - температура среды. По закону сохранения энергии это тепло должно быть равно теплу, которое передается через единицу площади поверхности за счет теплопроводности, т. е. а (-и, - Ьс) = = -X (д/дп), Где п - внешняя нормаль к поверхности S или, положив h = а/Х, получим

-+А(* >-&с)5 = 0.

(8.54)

4) Граничное условие четвертого рода соответствует теплообмену соприкасающихся твердых тел, когда температур.а соприкасающихся поверхностей одинакова, т е. &г (О = (П-

Помимо равенства температур, имеет место равенство тепловых потоков

(8.55)

Таким образом, краевая задача для температурного поля в твердом теле ставится так:

Найти функцию О (х, у, г, /), удовлетворяющую в области G = = (М С, / > 0) уравнению теплопроводности (8.51) и дополнительным: а) начальному д {М, 0) = = ф (М) и б) одному из краевых условий (8.52), (8.53), (8.50) или (8.55),

К такой краевой задаче для уравнения теплопроводности приходим, если рассматривать интегральные микросхемы в виде л-мерного неоднородного параллелепипеда (л = = 1, 2, 3) или в виде многослойной пластины.

Аналитическое исследование теплового режима в этом случае заключается в интегрировании параболического (или, в стационарном случае, эллиптического) уравнения с привлечением необходимых начальных и Граничных условий.

Для решения поставленной краевой задачи можно применить метод разделения переменных, операционный метод, метод конечных интегральных преобразований и численные методы.

Метод разделения переменных в приложении к тепловым расчетам микросхем

Ряд практических задач теплового режима элементов РЭА в теп-лофизическом отношении сводится к исследованию температурного поля в однородных прямоугольных пластинках (термоэлектрические устройства, микросхемы и т. д.).

В частном случае для двумерной тепловой модели такая задача формулируется следующим образом.

Найти решение уравнения теплопроводности

д ЭО I, дх + ду

0<х<Ь, 0< y<d.

(8.56)

при граничных условиях & (О, (/)= (6, у) = 0; О (X, 0) = (х, rf) = О

(8.57)

и при начальном условии

д (х, у, 0) = ф (X, у) (8.58)

Согласно методу Фурье, ищем частные решения уравнения (8.56) в виде произведения

ft = V тт {О = Х{х)У (у) Т (0.

(8.59)

Подставляя предполагаемую форму решения (8.59) в (8.56) и разделяя переменные, приходим к следующим уравнениям для функций v{M) и Т (t):

Av + Xv = 0;

\vs = 0;

Г + аЧТ = 0.

(8.60) (8.61) (8.62)

Для функции V (М) получаем задачу на собственные значения (задачу Штурма-Лиувилля): найти собственные значения 1; и соответствующие им нетривиальные решения - собственные функции задачи (8.60), (8.61).

Для определения функций v{M) = = X (x)Y {у) и Т (t) получим следующие уравнения:

X (X) + г]Х (х) = О,

У (у) + 11У {у) = О,

Г (О + а (л-f \i)T(i)) = О,

где Хц+ р..

Общие решения этих уравнений имеют вид:

X (д:) = Ci cos -цх + Сз sin г]х; Y (у) = Сз cos НУ + С4 sin \.\у; T(t) = А ехр i-a (т) + цМ].

Для выполнения граничных условий (8.57) следует положить

Ci = О, Сз = О; т) = mnib; р. (т, л = 1, 2, 3, ...).

Частными решениями уравнения (8 56), удовлетворяющими граничным условиям, будут

тпх плу -:-sin-- X

X ехр

-а2п=

г72 \

Общее решение исходной задачи может быть представлено в виде

(х, у. 0 =

т,п=1 п

. тпх . ппу sin---sin--. (8.63)

Удовлетворяя начальному условию (8.58), получаем

X sin

m,n=I

(8.64)

Ряд (8.64) представляет собой разложение функции ф (л;, у) в двойной ряд Фурье и коэффициенты Атп определяются по формуле

ппу , , X sin -- dxdy.

Внося эти значения коэффициентов Агг п в ряд (8.63), получим решение исходной задачи (8.56) .., ... (8.58).

Операционные методы для расчета нестационарных тепловых режимов РЭА

Для многих задач теплового режима РЭА и функциональных узлов использование классических методов оказывается неэффективным, например, применение метода разделения переменных для задач с внутренними источниками тепла. В результате требовании специальной (бортовой) РЭА при

решении задач нестационарных тепловых режимов широкое применение нашли операционные методы.

Процесс применения интегрального преобразования Лапласа к решению дифференциального уравнения теплопроводности однотипен для различных форм радиоэлементов и микросхем при граничных условиях первого, второго и третьего родов, без введения каких-либо новых допущений или преобразований.

Рассмотрим методику применения операционного метода Лапласа для нестационарного режима.

Пусть тепловой режим РЭА (интегральной микросхемы, например) описывается уравнением теплопроводности вида

dt \ дх \-fix, У, г, О

aj/2

(8.65)

в области G = {D с границей S, Q<t<T).

На границе области заданы условия

(Vi-+Y2flj=9(j. У, г, О-

(8.66)

При t = О задана функция

д (X, у, г, 1) = до (X, (/, г). (8.67)

Следуя операционному методу Лапласа, умножим исходное уравнение на ехр (-рО и проинтегрируем по от О до со. Предполагается также, что интегралы существуют и операция

ехр ( - pt) V&di =

= ехр(-рО о

правомерна, где

а аг 52

дх ду дг - оператор Лапласа.

Тогда вместо задачи (8,65) ... (8.67) будем иметь

+ Y2

(8.68) (8.69)

где / и ф - изображения функций и ф соответственно, вычисленные по формуле (8.37).

Таким образом, получено дифференциальное уравнение относительно пространственных координат, решить которое значительно легче, чем (8.65).

После определения д из уравнений (8.68), (8.69) задача сведется к обратному преобразованию. Для простых случаев обратного преобразования используются весьма под-)обные таблицы изображений [17]. i более общем случае решение получается из теоремы обращения

о-оо

Хд(л:, у, г, p)dp.

(рО X

(8.70)

где с > а (а - некоторое число, такое, что Re р > а). Интегрирование ведется по прямой Re р = с в пределах от с - ico до с-]- ioo, причем корни подынтегрального выражения (pj, Oj) лежат левее оси сходимости Re р = а. Вычисление интеграла (8.70) обычно производится методами контурных интегралов или с применением теоремы вычетов [30].

Порядок операций при использовании операционного метода следующий:

1) исходное уравнение (для оригинала) заменяется преобразованным уравнением, записанным для изображения;

2) граничные условия для оригинала заменяются граничными условиями для изображения. Начальные условия войдут в основное уравнение для области изображения;

3) находится решение для преобразованной задачи, при этом может оказаться целесообразным повторное применение интегрального преобразования;

4) совершается обратное преобразование, т. е. определяется искомая функция д (х, у, г, t).

Интегральное преобразование Лапласа имеет свои недостатки. В частности, известные трудности возникают при решении задач, когда начальные условия заданы в виде функции пространственных координат или при решении некоторых многомерных задач. В этой связи был предложен ряд методов интегральных преобразований по пространственным координатам в соответствии с геометрической формой тела.

Метод конечных интегральных преобразований при расчетах температуры элементов И С

При расчетах температуры элементов гибридных ИС требуется определить тепловое сопротивление R между источниками тепла (пленочные резисторы, микротранзисторы и т. д.) и корпусом или же подложкой ИС. В частном случае, подложке ИС ставится в соответствие теплофизическая модель в виде параллелепипеда, на верхней грани которого расположен источник энергии размерами h и 1, удельный тепловом поток через поверхность которого равен р. Теплообмен на верхней грани подчиняется закону Ньютона, суммарный коэффициент теплоотдачи равен а. Так как расчетные формулы для тепловых сопротивлений включают только разности температур, то можно принять температуру поверхностей остальных граней равной нулю .

Для стационарного температурного поля в параллелепипеде без внутренних источников тепла уравнение теплопроводности (8.51) принимает вид

ад ад ад

дх + а(/2 + дг

= 0,

0<л;<а, 0<у<Ь, 0<г<с. (8.71)

Запишем граничные условия;

д (О, г/, г) = д (а, (/, г) = д (д:. О, г) =

= д(х, 6, г) = д(д:, (/, 0) = 0; (8.72)

+ ад =

р при 8-0,5г, < X < е + 0,5/i, П- 0,5/2 <У < + 0,5k . О во всей остальной области,

(8.73)

где 8, т) - координаты центра источника на грани г = с; Х - коэффициент теплопроводности.

Применим метод конечных интегральных преобразований, позволяющий получить решение в виде ряда по собственным функциям задачи Штурма-Лиувилля [19]. Согласно общей теории метода представим искомую функцию в виде разложения в ряд по собственным фунуциям фй (х)

д(х, у, г)= 2 dfe((/ г)щ {X).

(8.74)

Ядро преобразования, позволяющее исключить дифференциальные операции по х, будет

ф(х, /г) = -Фй(х),

где вспомогательная функция ф {х) удовлетворяет дифференциальному уравнению

а фй (х)

(8.75)

Фй(0) = Фй (а) = 0. Отсюда

knx kn

Фй(х) = sin--, (ift=--

А=1, 2, ...

Поскольку дифференциальное уравнение (8.75) самосопряженное, нормирующий делитель равен

234 8. Физико-математические основы конструирования РЭА

Осуществив интегральное преобра- а ь

8.7. Математические методы расчетов вибраций и прочности

зование в интервале [О, а] с ядром Ohm

Xdxdy.

2 knx

w{x, й)=-sin-

приведем задачу (8.71) ... (8.73) к виду

=Рк(У) ,

(0,г)=дй {Ь. г)=дА (у. 0) = 0.

ЛУ, г) = ]{х, у, г) ф(л;, k)dx.

Ph {у) = \ Р (X, У)(х, k)dx.

При отыскании преобразования, исключающего дифференциальные операции по у, повторяем вышеописанный прием, причем ядро прямого преобразования будет иметь вид

2 тпу I) (У, ) = 7 51П-Vm =

= --, яг = 1,2, ...

Представив функцию bh (У, г) в виде разложения в ряд по собственным функциям \р 1 (у) = sin (mnylb)

h{y, г) = 21 hm(Z)m(y). т=\

(8.76)

приходим к обыкновенному дифференциальному уравнению 2-го порядка

Oftm(0) = 0;

(8.77) (8.78)

P{x, У)Ф (fe, х)ф{у, m)X

(8.79)

Решение уравнений вид

вт(г) =

полученной системы (8.77) ... (8.79) имеет

Xkmn

sin (ц е) sin (Уд, Т1) sin X

+ - Sh (COftmC)

X sh cokm z .

(8.80)

Итак, соотношения (8.74), (8.76) и (8.80) позволяют получить выражение для температурного поля в подложке микросхемы

(х.у, г}-

knx тли X sin-sin -

k= I m=I клк

. mnli . km X sin --- sin-

sin--L X

)/fe2 + m2 (albY

km {n Vk+m{a/bf x X ch [Y¥+mHa/b) nc/a] + + Bi sh IVW+mHa/bf nc/a]}

где Bi = aa.1% - критерий Био.

Тепловое сопротивление между источником энергии и наружными поверхностями подложки микросхемы, по определению, равно

e-b0,5(i TH-0,5i2

{Х, у, С)Х

е-0,5(, п-0.5(2 X dxdy-

среднеповерхностная температура источника; Pq = p/Wj - тепловой поток источника.

8.7. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТОВ ВИБРАЦИЙ И ПРОЧНОСТИ КОНСТРУКЦИИ РЭА

Общие положения

При проектировании конструкции блоков, панелей, рам и стоек РЭА возникает необходимость выполнения динамических расчетов для определения прочности конструкции, вычисления резонансных частот и нагрузок, возникающих в процессе эксплуатации РЭА. Подобные задачи приводят к дифференциальным уравнениям в частных производных теории колебаний и прикладной теории упругости [20].

Для составления расчетных уравнений необходимо, в первую очередь, выбрать динамическую модель РЭА (или составных частей), т. е. представить объект (РЭА) в виде некоторой совокупности инерционных, упругих и демпфирующих элементов. Выбирая физическую модель, необходимо учитывать также и ширину спектра динамического воздействия. Чем выше частоты, имеющиеся в воздействии, тем больше число степеней свободы должна иметь модель РЭА для того, чтобы можно было исследовать ее резонансные колебания. Поскольку РЭА имеет сложную нерегулярную структуру и в ее элементах возникают высокочастотные воздействия (до нескольких килогерц), адекватная модель может оказаться чрезвычайно сложной. Следующим этапом является разработка математического описания динамической модели. Математическая модель должна содержать замкнутую систему основных уравнений, а

также способы задания начальных и граничных условий.

Конструкция РЭА является сложной упругой механической системой. Для полного определения деформаций, возникающих в такой системе при колебаниях, необходимо знать перемещение всех ее точек, иначе говоря, требуется определить бесконечное число координат как функций времени и положения, определяющих эти перемещения в любой момент времени. Таким образом, упругие системы являются системами с бесконечным числом степеней свободы или системами с распределенными параметрами. Исследование и расчет таких систем проводятся методами математической физики или вариационными методами.

Зо многих случаях расчет колебаний упругих систем как систем с бесконечным числом степеней свободы становится возможным при введении в расчет решительных упрощений. Одним из таких приемов является замена сложной системы другой, более простой, с другим распределением масс и жесткостей, а именно: эквивалентной (приведенной) системой с одной или с конечным числом степеней свободы. Такие системы являются системами с сосредоточенными параметрами и могут быть исследованы иа основании уравнений Лагранжа.

Задачи динамических воздействий, приводящиеся к уравнениям гиперболического типа и уравнениям теории упругости. Постановка граничных задач

В конструкциях РЭА (платы, стойки и т. д.) часто применяются стержневые каркасы и отдельные стержни и пластины в качестве деталей, несущих механические нагрузки. Таким образом, в качестве физической модели можно рассматривать колебания стержней и пластинок.

Уравнение продольных колебаний стержней. Для однородного стержня уравнение одномерных малых колебаний имеет следующий вид:

дШ = с?д11дх + f {X, t),

= £/р, (8 81)