и системой граничных условий

и = 0; т=\, 2, .... N. (В.З)

Сопряженная ей краевая задача задается [13] дифференциальным выражением

1Г(7и)<>=0 (В.4)

и системой граничных условий

7 = 0; А=1, 2. .V*; = 2 - iV.

(В.5)

Однородная краевая задача называется [13] самосопряженной, если

L{u) = L*{u) (В.6)

и краевые условия (В.З) и (В.З) эквивалентны, т. е. значения и{а, Ъ), и{а, Ъ), ( -(а, Ъ) удовлетворяют одновременно тем и другим краевым условиям. Определим типы операторов, соответствующих краевым задача.м, рассматриваемым в книге.

ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ НАПРАВЛЯЮЩИЕ СТРУКТУРЫ (рис. В.1)

функция, описывающая радиальную зависимость поля в цилиндрических структурах, удовлетворяет уравнению

г дг

7.2 N

W = 0, (В.7)

где = 0, 1, 2, ... Сделав в (В.7) замену {г) =u{r)lYг, получим

L (и) = О, где L =

/г + а.

Рис. в.1. Слоистые цилиндрические структуры

Нетрудно показать, что в рассматриваемом случае равенство (В.6) выполняется. Следовательно, для выяснения вопроса самосопряженности операторов, соответствующих краевым задачам для цилиндрических структур, необходимо проверить эквивалентность краевых условий.

Круглый экранированный, однородно заполненный волновод. Краевая задача для волн в таком волноводе решается при двух граничных условиях: условие ограниченности поля в центре волновода и условие либо Дирихле, либо Неймана на экране. Следовательно, t/ =0; m=l, 2; ijV=2. Для сопряженной задачи N* = = 2п-jV = 2; N*=\N, т. е. имеет место эквивалентность краевых условий. Таким образом, краевая задача - самосопряженная.

Круглый открытый диэлектрический волновод ДВ (рис. 8.1,а). Для волн в таком волноводе можно сформулировать несколько краевых задач:

а) /г = 0; u-z-O при г-оо (поле не имеет угловой зависимости и не обращается в нуль на бесконечности).

В этом случае имеем три граничных условия: условия ограниченности поля при г=0 и непрерывности его тангенциальных компонент на поверхности волновода. В результате

UmO; т==\, 2, 3; Л/=3; Л* = 2(2л)УУ= 5; N*N.

Здесь при определении числа краевых условий сопряженной задачи учтено, что направляющая система состоит из двух областей: г<а и г>а. Значит краевая задача для симметричных волн в круглом ДВ при неограниченном на бесконечности поле является несамосопряженной;

б) л = 0; при г-оо (поле не имеет угловой зависимости, но ограничено на бесконечности).

В этом случае имеем четыре граничных условия: условия ограниченности поля при г = 0 и г-оо и непрерывности его тангенциальных компонент на поверхности ДВ, т. е.

и = 0; т=\, 2, 3, 4; Л/ = 4; /V* = 2(2/1 )-/V = 4;

и краевая задача является самосопряженной;

в) n=l, 2, 3, --0 при r-oo (несимметричные волны с неограниченным на бесконечности полем).

В этом случае имеем пять граничных условий: ввиду гибридности поля для каждого вектора Герца существуют условие ограниченности при г=0 и четыре граничных условия при г = а, т. е.

и = 0; 2..... 5; N5; ;V*=2 (2л-Л) = 3;

и краевая задача является несамосопряженной;

г) п=1, 2, 3, и->0 при л->оо (несимметричные волны с ограниченным на бесконечности полем).

В отличие от предыдущего случая к граничным условиям добавляется условие ограниченности поля на бесконечности. Тогда N = 6; N*N. Краевая задача несамосопряженная.

Проведенное рассмотрение позволяет сделать вывод, что в круглом ДВ наряду с обычными поверхностными волнами могут существовать комплексные волны, симметричные и несимметричные, не удовлетворяющие нулевому условию на бесконечности, и несимметричные комплексные волны, поле которых на бесконечности стремится к нулю.

Круглый двухслойный экранированный волновод (рис. 8.1,6). Рассмотрим для него различные краевые задачи.

а) я = 0 (симметричные волны).

В этом случае имеем четыре граничных условия: условие ограниченности поля при г=0, два условия непрерывности его тангенциальных компонент при г - г и нулевое граничное условие на экране при г = Г2. Таким образом, для симметричных волн t/ =0; 7П=1, 2, 3, 4; Af=4; jV* = 2(2/r)-jV = 4; N*=N.

Краевая задача самосопряженная;

б) л=1, 2, 3, ... (несимметричные волны).

Поскольку в этом случае волна гибридная, к краевых! условиям предыдущей задачи добавятся еще два условия непрерывности тангенциальных компонент поля при г=г1. Тогда

t/=0; m=l, 2, 6; N=b; М*ФМ. Краевая задача стала несамосопряженной.

Круглый экранированный волновод с произвольным числом слоев (рис.В.1,0). Рассмотрим различные краевые задачи для такого волновода.

а) п=0 (симметричные волны).

В волноводе существует q~\ границ раздела между слоями, на которых должно быть выполнено 2{q-\) условий непрерывности тангенциальных компонент поля. Кроме того, должны быть выполнены условия ограниченности поля при г=0 и нулевое при г-г. В результате

С/ =0; т = 1, 2, 2(7; N=2q; U, = Q;

N* = q{2n)-N = 2q; N* = N.

При вычисленииЛ* учли, что направляющая система состоит из q областей, для каждой из которых решается уравнение (В7). Таким образом, краевая задача для симметричных волн в -слойном волноводе является самосопряженной;

б) п=\, 2, 3, ... (несимметричные волны).

В отличие от предыдущего случая на каждой границе раздела между слоями имеем четыре краевых условия. В результате, поскольку t/ = 0; m=l, 2, ...

2{2q-1); Л = 2(2~1); задача становится

несамосопряженной. Таким образом, только для несимметричных волн в круглом экранированном волноводе с произвольным числом аксиальных слоев краевая задача является несамосопряженной и допускает существование комплексных собственных значений.

Рассмотрим краевые задачи для слоистых волноводов с резистивными пленками. Вопрос о типе оператора для структур со строго учитываемыми потерями, вообще говоря, не возникает. Однако, поскольку для рассматриваемых в книге структур с резистивными пленками используется приближенный метод поверхностного тока, подтверждение несамосопряженности получающихся при этом операторов представляется целесообразным. Метод поверхностного тока (МПТ) отличается от метода частичных областей (МЧО) [14] введением в месте расположения резистивной пленки разрывного граничного условия для магнитного поля.

Круглый диэлектрический волновод, покрытый тонкой пленкой (на поверхности г = а, рис. В.1,а, резистив-ная пленка). Краевую задачу с неограниченным при г-оо полем для этого волновода рассматривать нет не-

обходимое , поскольку, как было показано выше, она и для ДВ без пленки является несамосопряженной, пленка же не изменит (при неограниченном на бесконечности поле) общее число граничных условий. Рассмотрим задачи, в которых при г-оо:

а) п = 0 (симметричные волны).

Поскольку распространение волн типа Eq; Нр сопровождается протеканием в резистивной пленке токов (в первом случае продольных, во втором -азимутальных), направляющая система становится принципиально диссипативной, несмотря на отсутствие потерь в средах, ее образующих. В силу нулевого граничного условия при г-оо мы обязаны наложить на поле дополнительное условие его экспоненциального убывания в направлении распространения. В результате имеем два граничных условия при г = а, условия ограниченности поля при г = 0, г->оо и нулевое условие при z-oo. Таким образом, поскольку

t/, = 0; т=\, 2, .... 5; УУ = 5;

= 0; Л/* = 2(2п) -N = 3; N* N,

краевая задача для симметричных волн круглого ДВ, покрытого резистивной пленкой, удовлетворяющих нулевому граничному условию на бесконечности, является несамосопряженной;

б) п=\, 2, 3, ... (несимметричные волны). Краевая задача при п¥0 и для обычного ДВ, как

было показано выше, является несамосопряженной с любым условием при гоо. При наличии резистивной пленки к имевшему место числу краевых условий добавится условие убывания поля в направлении его распространения, в результате задача останется несамосопряженной. Отметим, что дифференциальные выражения (В.2) и (В.4) при введении в волноводы резистивных пленок не меняются, поскольку последние в МПТ учитываются лишь изменением граничных условий.

Круглый двухслойный экранированный волновод с резистивной пленкой между слоями (пленка на поверхности г = Ги рис. в.1,6). Рассмотрим несколько краевых задач для такого волновода.

а) п = 0 (симметричные волны).

Так же, как и в предыдущей задаче, к двум условиям на поверхности г=ги нулевому на поверхности экрана и условию ограниченности поля при г = 0 доба-

вится условие экспоненциального убывания поля в направлении его распространения. В результате

/7 = 0; т= 1, 2, .... 5; N=5; Uk = 0; /V* = 2(2л) - = 3; Л*

т. е. краевая задача несамосопряженная;

б) /г=1, 2, 3, ... (несимметричные волны).

Задача несамосопряженная и в отсутствие резистивной пленки. Поскольку при введении пленки к имевшему место числу краевых условий добавится условие экспоненциального убывания поля в направлении его распространения, тип оператора не изменится. Таким образом, как можно было предположить исходя из элементарных физических соображений, краевые задачи для цилиндрических направляющих структур с резистивными пленками, решаемые МПТ, являются несамосопряженными.

ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ СЛОИСТЫЕ ВОЛНОВОДЫ (рис. В.2)

Для прямоугольных экранированных волноводов с плоскопараллельными диэлектрическими слоями ввиду эквивалентности граничных условий

Ех,. (у = у,) = Е,.(у = у,) п е.. (у = у,) = Е..J (у = у,),

(В.8)

Нх, (у = У;) = Н.., (у = у.) и Н, (у = У;) = Н.., (У = у,.),

где г -номер слоя, краевая задача ди/ду-\-аи 0; и = 0; т=1, 2, N является самосопряженной. Как в частном (например, двухслойный волновод), так н в общем случае нетрудно по- казать выполнение равенства N* = N. bf

Если хотя бы на одной из границ раздела сред по- у. местить резистивную плен- I ку, эквивалентность границ- у ных условий (В.8) для маг- нитного поля нарушится, поскольку в соответствии

с МПТ Н,.-Нл-,, = -ДаЕ; Рис. В.2. Прямоугольный Нг. - Нг, = ДаЕ волновод с плоскопарал-

+ лельными слоями