ны НЕ при Ц1 = р2=ро, е = е,/е2 = 5. На рис. 4.8 показано поведение поперечных волновых чисел, соответствующих указанным характеристикам.

Плоскости (х,2) - двулистные. Разрез по линии Р = = 0 проходит так, как показано на рис. 4.8. Верхний лист условно считаем соответствующим р <0, нижний Р >0. В качестве отправной точки при решении дисперсионного уравнения брали точку А. В ней р=Р = 0. Стрелки на рисунке указывают направление движения корней дисперсионного уравнения при уменьшении частоты. Из рис. 4.8 видим, что при уменьшении частоты корни дисперсионного уравнения в первых квадрантах плоскостей (х 2) приближаются к осям у 2, достигают их в точках А, затем переходят в четвертые квадранты. Переход в четвертые квадранты говорит о смене знака у фазовой скорости. В интервалах АВ фазовая и групповая скорости имеют противоположные направления, напряженность поля, как обычно, убывает при удалении от источника, расположенного в начале координат, т. е. в направлении групповой скорости. При дальнейшем уменьшении частоты корни дисперсионного уравнения вновь приближаются к осям у1,2 и возвращаются в первые квадранты плоскостей (х 2). В точках перехода Р=0, фазовая скорость меняет знак и в интервале ВС ее направление совпадает с направлением групповой скорости. Величина интервала ВС (рис. 4.8) зависит от параметров волновода. Они сужаются при уменьшении =£,/62 и Дог и при определенных значениях этих параметров исчезают совсем. В этом случае фазовые постоянные во всем частотном диапазоне coefO-сокр] меньше нуля.

Рис. 4.8. Расположение решений дисперсионного уравнения для волны НЕц в плоскостях поперечных волновых чисел

tS Г,0 7,5 г,5 а)

as 7,0 7,5 г,о кг, S)

Рис. 4.9. Дисперсионная характеристика волны ЕНц в волноводе (а) и ее характеристика затухания (б):

е=5; г,/г2 = 0,7; Лп=125 Ом/П

Как видно из рис. 4.7,а, при сй<сйкр волна НЕ быстрая (иф>1 е2Ц2). Качественное поведение дисперсионных характеристик при (о>сйкр такое же, как и в обычном двухслойном экранированном волноводе. С увеличением поверхностного сопротивления пленки при сй>©кр коэффициент затухания увеличивается. Из рис. 4.7,6 видно, что на частотах, соответствующих интервалу АВ на рис. 4.8, затухание мало: волна с отрицательной фазовой скоростью распространяется практически без затухания. Численные исследования показывают, что волна ЕН, критических режимов (р = р =0 или Р = 0, Р =0) не имеет, рис. 4.9,а. Ее нормированная фазовая постоянная в диапазоне coefO-оо) изменяется в интервале Ре[0-Ке]. Коэффициент затухания (рис. 4.9,6) с увеличением частоты сначала возрастает, затем монотонно уменьшается до нуля.

Таким образом, интересными особенностями несимметричных волн в круглом двухслойном экранированном волноводе с резистивной пленкой являются наличие критических режимов у одних волн и отсутствие их у других, а также существование частотных областей, в которых волны имеют отрицательное значение фазовой скорости. Последнее явление обнаруживается на частотах ниже критической частоты соответствующей волны в аналогичном волноводе без резистивной пленки.

4.5. ДВУХСЛОЙНЫЙ ЭКРАНИРОВАННЫЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКИЙ ВОЛНОВОД С РЕЗИСТИВНОЙ ПЛЕНКОЙ

Обычные двухслойные экранированные эллиптические волноводы рассмотрены в [4, 74-76]. Исследованы

Рис. 4.10. Поперечное сечение двухслойного эллиптического волновода с резистивной пленкой

их дисперсионные свойства, структура полей основных волн, особые точки частотного диапазона и т. п. Слоистые эллиптические волноводы с резистивными пленками к настоящему времени мало исследованы ввиду значительных математических трудностей, возникающих из-за отсутствия алгорит-

мов для расчета функций Матье в комплексной плоскости. В настоящем параграфе описывается подход к решению комплексного дисперсионного уравнения двухслойного эллиптического волновода с резистивной пленкой между слоями. Рассматриваются особенности распространения в таком волноводе основной волны HEjj.

Поперечное сечение двухслойного эллиптического волновода с резистивной пленкой между слоями изображено на рис. 4.10. Решения уравнения Гельмгольца для четных НЕ; и нечетных НЕ волн записываются

в виде

ft=0

ПгжО

(4.11)

где Jeft (5, S) и Joj (s, S)- четная и нечетная модифицированные функции Матье 1-го рода; ceis, -ц) и seis, /))-четные и нечетные угловые функции Матье;

пп, -д ) п ih 2) - Je; (2. г) Ne (2, S) Ne;(52,£2)

J0 iS2, ) N 0 (2. Si) - J0 (S2. 2) N0 (2, )

No {S2,y

при s>0;

le {$2, S) Ge; (s S2) - le; (s, S2) Ge (2. S) 0 (S2. £2)

(2 ) (2. 2) -- l0 (2. S2) G0 (2, I)

Go (S22)

при s<0;

Ne (s, S) и No (s, £)-четная и нечетная модифицированные функции Матье 2-го рода; Ie , 1о и Ge , Go - модифицированные функции Матье при s<0;

Si.2=dY ei,2ii,2C0-p2; d -фокусное расстояние; I и ц - безразмерные эллиптические координаты на рис. 4.10.

Дисперсионное уравнение, как и в предыдущих случаях, составляется методом поверхностного тока. Поскольку собственные функции и в областях I, II (рис. 4.10) имеют различную угловую зависимость, граничные условия на пленке можно удовлетворить только их бесконечными наборами (4.11). В результате дисперсионное уравнение получается в незамкнутой форме и решается в том или ином приближении. В первом приближении дисперсинное уравнение волны HE]f, имеет вид

L Uf

-f/Д

xhfi--UM;iHi i

F -Qe

- Ma

= 0, (4.12)

Je; (1, Si) Ne; (2. Si) - Je; (% S;) Nej (2, g,) Je, (S2, £1) Ne; {Si, у - Je; (2, 2) Ne, (Sj, 5,)

Jo;(% £,)N0, (Sj, a) -J0l(2. 2) No; (2. 1)

Jo, ($2, No, (S2, £2) - Joi (2 2) No, (S2. £1)

Ne. o, =

Ne, o.

11, *1ь Сц, dn, Рп, 11 - коэффициенты разложения функций, описывающих угловую зависимость поля в области II, в ряды по угловым функциям Матье, описывающим поле в области I, /i,2= F *i,2; Р = Р/о = = P-fip - нормированное продольное волновое число; k = dk(y\ e = ei/eo; p = pi/po; A=iA/d; сг=1сг/<оео; сг - проводимость материала пленки.

Рассмотрим особенности уравнения (4.12). Предположив возможность существования у волны HE,J критического режима, при котором ip=ip = 0, после разделения в (4.12) действительной и мнимой частей и исключения частоты получим уравнение для определения безразмерных поперечных волновых чисел h, соответствующих этому режиму:

- Q\ -(Дa)/г4

= 0.

(4.13)

Первая скобка в (4.13) совпадает [74] с уравнением, из которого находится критическая частота волны НЕ, в волноводе без пленки. Следовательно, можно утверждать, что волна HEJ , в двухслойном эллиптическом волноводе с резистивной пленкой имеет критическую частоту, на которой отсутствует взаимодействие поля с пленкой (Р = 0). При этом указанная частота совпадает с критической частотой волны НЕу, в обычном волноводе без пленки. Уравнение (4.12) является [74] также дисперсионным уравнением волны НЕ а выражение во второй скобке в (4.13) соответственно уравнением для определения критической частоты этой волны. Понимая под критической частотой такую, на которой p=ip = 0, можно утверждать, что на ней поле перестает взаимо-

действовать с пленкой. Но в этом случае критическая частота волны в волноводе с пленкой должна совпадать с (Окр той же волны в волноводе без пленки. Действительно, критические частоты волны HEJ, в обоих волноводах совпадают. Что касается волны EHj то, анализируя уравнение (4.13), можно прийти к выводу, что она не имеет критической частоты в указанном смысле, поскольку на критической частоте волны ЕН, , обычного двухслойного волновода обращается в нуль первое слагаемое в квадратной скобке (4.13). Таким образом, для круглого и эллиптического двухслойных волноводов с резистивными пленками обнаруживаем общую закономерность: волны НЕц и НЕ имеют критические частоты (причем они совпадают с критическими частотами этих волн в волноводе без пленки), волны ЕНц и ЕН, критических частот не имеют.

Решение комплексного дисперсионного уравнения (4.12) является в общем случае достаточно сложной задачей из-за отсутствия записи в комплексной плоскости коэффициентов разложения функций Матье по тригонометрическим функциям и функциям Бесселя. Для того чтобы преодолеть указанную трудность, ограничимся рассмотрением диапазона частот, в котором величины Si,2 достаточно малы. При этом в разложениях функций Матье по тригонометрическим и цилиндрическим функциям можно учитывать лишь первые члены, благодаря чему неизвестные коэффициенты разложения при использовании (4.12) сокращаются. Численные исследования в действительной области показывают, что для вычисления таким образом функций, входящих в дисперсионное уравнение (4.12), с погрешностью не выше 15-20% необходимо ограничиваться значениями

S 2<6 - 10.

(4.14)

Точность приближенного вычисления функций Матье в комплексной плоскости можно контролировать по величине вронскиана:

= Je, o,(s. n; {s, I) - j; (s, ) Ne. o, (s, S),

которая должна мало отличаться от единицы. Значения вронскиана для нескольких s приведены в табл. 4.1.