Pitc. В.З. Круглый волновод с диэлектрической пластиной в диаметральной плоскости

где Да - поверхностная проводимость резистивной пленки. Это приведет к тому, что равенство N*- = N перестанет выполняться. Таким образом, краевые задачи для волн в прямоугольных волноводах с резистивными пленками, которые будут рассматриваться ниже, являются несамосопряженными.

На рис. В.З показано поперечное сечение круглого волновода с диэлектрической пластиной в диаметральной плоскости. Его можно разбить на две области: прямоугольную (диэлектрическая пластина) и цилиндрическую. Для каждой из них поле описывается дифференциальным выражением, удовлетворяющим условию самосопряженности оператора. Число же граничных условий в силу гибридности поля оказывается таким, что условие N*=N не выполняется, т. е. задача является несамосопряженной. С помощью МПТ будем рассматривать круглый волновод с диэлектрической пластиной, имеющей резистивное покрытие. Учет резистивной пленки не приводит к изменению числа граничных условий. Краевая задача остается несамосопряженной.

Помимо круглых и прямоугольных волноводов будем рассматривать также двухслойный эллиптический волновод. Исследование его оператора производится так же, как и круглого двухслойного волновода. Лишь для

волн е;;

краевые задачи являются самосопря-

женными. Все гибридные волны описываются несамосопряженными операторами. Введение между слоями резистивной пленки делает краевую задачу, решаемую с помощью МПТ, для всех волн несамосопряженной. Таким образом определили типы краевых задач для всех направляющих структур, которые будут рассматриваться ниже, и тем самым предварительно ответили на вопрос: какие спектры волн соответствуют этим структурам.

Выше был изложен подход к определению типа оператора краевой электродинамической задачи на основе рассмотрения ее одномерного фрагмента, получающегося после разделения переменных. Подойдем к этому вопросу с общих позиций.

Пусть краевая задача образуется дифференциальным уравнением

Y,Bi{xd---\-CU=0 (В.2)

;=I -i i=\ i

и N граничными условиями.

Тогда сопряженная ей краевая задача описывается уравнением

i = l /-I

решаемым при Л* граничных условиях *.

Для того чтобы краевая задача была самосопряженной, необходимо, чтобы дифференциальные выражения (В.2) и (В.4) тождественно совпадали и выполнялось равенство N = N*.

Представляя решение многомерной краевой задачи и ей сопряженной в виде

приходим к следующей записи уравнений (В.2) и (В.4):

S9м, Jl, ди,

+ S -- +Ct/=0,

Pi = ы,Мз ... UijUi+j ... u;

Qi =ViV2 ... ViiVi+i ... v .

Нетрудно показать, что, если коэффициент С можно представить в виде

С = J]a,(x,).

в полученных уравнениях можно произвести разделение переменных.

* Для удобства сопоставления нумерации формул соответствует приведенной выше.

После разделения переменных получаются дифференциальные уравнения вида

Lui = (X,) ; + {xi) и. -f \ai {xi) -f a,] г = 0.

Для выполнения первого условия самосопряженности оператора необходимо, чтобы = При проверке второго условия необходимо найти число Л*, определяемое формулой (В.5).

Для задачи, определенной на интервалах x,[a, ft,], Ь\, [bm-u b], число N* следует находить как

yV* = 2пт - N,

где п-порядок дифференциального уравнения, в нашем случае п=2.

Таким образом, произведя разделение переменных и получив уравнения вышеприведенного типа, в первую очередь проверим возможность выполнения равенства 1 = ll а затем, вычислив величину Л*, проверим выполнение второго условия самосопряженности оператора. При этом, например, в регулярной электродинамической структуре под U и V можно понимать продольные компоненты векторов Герца, й,- и Vi - составляющие этих векторов по соответствующим осям.

Для примера рассмотрим двухслойный экранированный волновод произвольного сечения. Поверхность экрана и граница раздела двух областей описываются гладкими функциями. При любом выделении малых частичных областей для каждой из них можно в исходных дифференциальных уравнениях произвести разделение переменных в одной из ортогональных систем координат, например в цилиндрической или эллиптической. После этого на основе методики, описанной выше, можно установить тип оператора для каждой одномерной задачи. Если хотя бы для одной из выделенных областей задача оказывается несамосопряженной, она будет несамосопряженной для краевой задачи в целом.

Рассмотрим частный случай: трехслойный прямоугольный экранированный волновод с изотропными слоями. За счет того, что два граничных условия на плоскопараллельных координатных слоях при у = У\,2 являются тождественными, каждая одномерная задача,

например по оси у, является самосопряженной. Действительно, имеем

yV=l(y = 0)-f2(y = yi) + 2(y = y2)+ 1(У = 6) = 6; 7VA* = 3(2 ) -6 = 6; N = N*.

Другой пример: прямоугольный экранированный волновод с координатно расположенным диэлектрическим стержнем, не касающимся экрана. Сечение разбиваем на пять областей. Поля сшиваем на плоскопараллельных границах у=У\,2- Имеем

ЛА= 1(у = 0) + 3.2(у=:у,) + 3.2(у = у2)-Ь1(у=&)= 14; N* = 5{2n)-N=Q; N*N.

Задача несамосопряженная.

Определение типа оператора, соответствующего той или иной краевой задаче электродинамики, имеет важное значение с точки зрения получения априорной информации о спектре собственных значений этой задачи. В частности, как было показано, вопрос о существовании в электродинамической структуре комплексных волн может быть решен на этом уровне без проведения численного решения дисперсионного уравнения.

В.2. Метод частичных областей в применении к рассматриваемым краевым задачам

Основное внимание в книге уделяется исследованию спектров волн неоднородных направляющих структур. Для решения краевых задач, описывающих эти структуры, используется метод частичных областей [14-16]. В тех случаях, когда нельзя сформулировать краевую задачу Штурма - Лиувилля, полная система собственных функций образует [17] непрерывный спектр. Например, в прямоугольном волноводе с диэлектрической вставкой, поперечное сечение которого показано на

Рис. В.4. Прямоугольный волновод с продольио-регу-ляриой диэлектрической вставкой

а X

2-1054

рис. в.4, продольные компоненты электромагнитного поля области II записываются в виде

= г с (а J sin о. (х - а) sin оуйч е ;

= j D (а.) cos (jc - а) со? а.уУйо.&-9. о

Из граничных условий для этих компонент при у = С с использованием фурье-преобразования получаются интегральные уравнения Фредгольма 2-го рода относительно спектральных функций С [и) yi D{oi). Их решения с помощью метода последовательных приблил-се-ний [18] представляются рядами Неймана, содержащими неизвестные коэффициенты разложения поля в областях с дискретным спектром. Подстановка этих решений в остальные граничные условия приводит, в конечном итоге, к системе линейных однородных алгебраических уравнений относительно коэффициентов разложения поля в областях с дискретным спектром собственных функций. Запись условия нетривиальности решений этой системы дает дисперсионное уравнение волн неоднородно заполненного волновода.

Общий подход к расчету неоднородных экранированных структур методом частичных областей с использованием непрерывного спектра собственных функций описан в [17 . Примеры его численной реализации приведены в [19-21].

Поскольку во всех рассматриваемых в книге однородных краевых задачах разбиение направляющих структур на частичные области производится таким образом, что для каждой из областей можно сформулировать задачу Штурма - Лиувилля, решения краевых задач везде представляются в виде дискретных спектров собственных функций. Собственные значения краевых задач находятся как решения дисперсионных уравнений, получаемых из краевых условий для полей на границах между выделенными областями.

В.З. Классификация собственных волн экранированных направляющих структур

Проблема классификации собственных волн часто возникает при исследовании направляющих структур со слол<иым металлодиэлектрическим и ферритовым за-

полнением, таких, как многослойные круглые и прямоугольные волноводы, щелевые и компланарные линии на слоистой ферритодиэлектрической подложке, периодические замедляющие системы и т. д. Немаловажное значение приобретает вопрос классификации волн при решении задач дифракции, когда необходима правильная идентификация собственных волн сопрягаемых отрезков линии передачи.

В настоящее время наиболее часто используются два принципа классификации собственных волн.

1. Классификация, отражающая в обозначениях типов волн соотношение величин поперечных или продольных компонент электромагнитного поля (волны Т, ТЕ, ТМ, LE, LM). Для обозначения гибридных волн обычно используются символы НЕ и ЕН. Соответствие гибридной волны тому или иному типу, как правило, определяется путем предельных преобразований параметров заполнения волновода, в результате которых НЕ-волна преобразуется в Н-волну, а ЕН-волна - в Е-волну однородно заполненного волновода. Индексы при обозначении типов волн обычно указывают на число вариаций поля вдоль поперечных координат.

2. Классификация типов волн по соотношению направлений фазовой и групповой скоростей, различающая прямые и обратные волны. Прямыми называют волны, у которых фазовые и групповые скорости направлены в одну сторону. Волны с противоположными направлениями фазовой и групповой скоростей называют обратными [22].

Очевидно, что второй из рассмотренных принципов классификации волн не может быть использован при идентификации как реактивно затухающих, так и комплексных волн, поскольку для них неприменимо понятие групповой скорости. Кроме того, существование в волноводе комплексных волн связано с присутствием на дисперсионных характеристиках точек вырождения (точек жордановой кратности) [23]. Наличие таких точек делает во многих случаях невозможным однозначное установление принадлежности ветвей дисперсионных кривых тому или иному типу волны. Следовательно, существует необходимость введения принципа классификации волн, обобщающего существующие и применимого к распространяющимся, комплексным и реактивно затухающим волнам. В соответствии с предлагаемым 2* 19